BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Misalkan V ruang
vektor dan S={s1, s2, ...., sn}. S disebut
basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu:
1. S
bebas linier
2. S
membangun V
Basis dari suatu
ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam
basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.
B. Rumusan Masalah
Pada
pembahasan ini penulis akan menjelaskan apa yang dimaksud dengan basis dan
dimensi.
BAB II
PEMBAHASAN
BASIS
DAN DIMENSI
Basis : suatu ukuran tertentu
yang menyatakan komponen dari sebuah
vector. Dimensi biasanya
dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang
adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara
umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah
ruang vektor dan S = {v1, v2, v3,
….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S
disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut
ini dipenuhi :
i.
S
bebas linier;
ii.
S
serentang V.
Contoh
1
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0,
… , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … ,
1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan
bahwa S = { e1, e2,
… , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2,
… , vn) pada Rn
dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2 + … + vnen,
maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Contoh
2
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1
), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan
bahwa himpunan S = { v1, v2,
v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan.
Untuk memperlihatkan bahwa S
serentang R3, maka kita
harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2
+ k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam
komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )
atau
( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3,
2k1 + 9k2 + 3k3, k1
+ 4k3 )
atau
k1
+ 2k2 + 3k3 = b1
2k1
+ 9k2 + 3k3 = b2
k1 + 4k3 = b3 (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai
pemecahan semua pilihan b = (b1,
b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan
bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1
+ k2v2 + k3v3 = 0 (1.2)
adalah k1 = k2 =
k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2)
dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan
direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut homogen
k1
+ 2k2 + 3k3 = 0
2k1
+ 9k2 + 3k3 = 0
k1 + 4k3 = 0 (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial.
Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang
sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a),
(b), (d) dari Teorema 15 pada bagian Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan
dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan
bahwa matriks koefisien
Pada
system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena
maka
jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat
Fungsi Determinan bahwa A dapat
dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis
untuk R3.
Contoh 3
Himpunan
S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan
basis untuk ruang vector Pn yang
diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang.
Dari contoh 18, vector – vector pada S
merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu
kombinasi linier dari vector – vector S
adalah vector nol, yakni
c0 + c1x + … +
cnxn = 0 (untuk semua x) (1.4)
Kita
harus perlihatkan bahwa c0
= c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita
ketahui bahwa polinom taknol berderajat n
mempunyai paling banyak n akar yang
berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x,
maka setiap nilai x adalah sebuah akar
dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1
= c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn
dapat mempunyai paling banyak n akar.
Maka himpunan S adalah himpunan bebas
linier.
Basis
S dalam contoh ini dinamakan basis baku
untuk Pn.
Contoh 4
Misalkan
Himpunan
S = [ M1, M2, M3, M4 ] adalah
sebuah basis untuk ruang vector M22
dari matriks – matrik 2 × 2. Untuk melihat bahwa S merentang M22,
perhatikan bahwa sebuah vector khas (matriks)
dapat
kita tulis sebagai
=
= aM1 + bM2 + cM3 + dM4
Untuk
melihat bahwa S bebas linier,
anggaplah bahwa
aM1 + bM2 + cM3
+ dM4 = 0
Yakni,
Maka
Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier
Basis
S dalam contoh ini kita sebut baris baku untuk M22. PAda umumnya,
basis baku untuk Mmn sesuai dengan beda matriks mn dengan sebuah bilangan tunggal 1 dan
bilangan nol untuk entri – entri sisanya.
Contoh 4
Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di
mana:
. Cari basis dan dimensi dari ruang V!
Solusi : (Menggunakan matriks)
Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}
BAB
III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Setiap sistem
pembentuk yang bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor. Setiap himpunan
u u1, u , u2, …, u , un} yang } p p { {11, 2, , n} y g
bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi n.
Basis : suatu ukuran tertentu
yang menyatakan komponen dari sebuah
vector. Dimensi biasanya
dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang
adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara
umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah
ruang vektor dan S = {v1, v2, v3,
….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S
disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut
ini dipenuhi :
1. S
bebas linier;
2. S serentang
V.
B. Saran
Demikian yang dapat penulis paparkan mengenai
materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak
kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya
rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.
Penulis banyak berharap para pembaca yang
budiman dapat memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi
sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan–kesempatan
berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para
pembaca yang budiman pada umumnya.
Daftar
Pustaka
